- Fraktal
- Frak|tal 〈n. 11〉 Objekt mit unregelmäßiger Struktur u. gebrochener Dimension, oft von selbstähnlicher Struktur, d. h., ein Ausschnitt einer Struktur gleicht der Gesamtstruktur, z. B. Schneeflocke [<lat. fractio „Bruch“]
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Fraktal[von engl./frz. fractal, »gebrochen(zahlig)«], ein zunächst nur mathematisch definiertes Objekt, das nicht ein-, zwei- oder dreidimensional ist, sondern eine sog. gebrochenzahlige Dimension aufweist (z. B. 1,7 oder 2,33). Ein solches Objekt ist weder ganz Fläche noch ganz Linie bzw. weder ganz Körper noch ganz Fläche, sondern liegt irgendwo dazwischen. Anschaulich vorstellen kann man sich das nicht. Trotzdem existieren in der Natur Objekte, die solchen Fraktalen nahe kommen: z. B. eine Küstenlinie, Schneeflocken oder Schwämme. Ihnen ist die Eigenschaft gemein, dass ihre Begrenzungslinie bzw. Oberfläche nicht glatt, sondern in charakteristischer Weise strukturiert ist. Und zwar ähnelt die Begrenzung bei beliebiger Verkleinerung oder Vergrößerung ihrem eigenen Bild: Bei einer Schneeflocke sitzen an allen sechs »Zacken« kleine sechszackige Auswüchse, an deren Zacken erneut entsprechend kleinere sechszackige Sternchen entspringen usw. Ebenso sieht man bei einem fraktalen Schwamm bei jeder Vergrößerungsstufe ein typisches Muster aus größeren und kleineren Hohlräumen und die Zwischenwände sind selbst von einem ähnlichen Muster entsprechend kleinerer Hohlräume durchlöchert. Man nennt dieses Phänomen fachsprachlich »Selbstähnlichkeit«. Das Erstaunliche ist, dass z. B. die Dimension einer Küstenlinie, obwohl man »Linie« spricht, nicht etwa 1 ist (wie es sich für eine Linie »gehört«), sondern nach mathematischer Analyse irgendwo zwischen 1 und 2 liegt. Ähnliches gilt für Schneeflocken, Schwämme und andere natürliche Objekte. Das Konzept der Fraktale wurde entwickelt, um diese wundersamen Eigenschaften der Natur beschreiben zu können.Außer der an sich schon bemerkenswerten Tatsache, dass man Fraktalen auf konsistente Weise eine gebrochenzahlige Dimensionalität zuschreiben kann, gibt es enge Verbindungen zwischen dem Studium der Fraktale und der sog. Dynamik nicht linearer Systeme, besser als Chaostheorie bekannt. Diese Wissenschaft, die in den 1980er- und 1990er-Jahren geradezu Kultcharakter hatte, beschäftigt sich mit Erscheinungen, bei denen kleinere Änderungen der Ausgangsbedingungen zu völlig anderen Endergebnissen führen können, etwa beim Billard, beim Wetter oder bei Vorgängen im Gehirn. Wenn man die Entwicklung von solchen sog. chaotischen Systemen in einem Diagramm in geeigneter Weise aufträgt, ergeben sich fraktale Bildstrukturen.Zur Popularität von Fraktalen hat aber - mehr noch als ihre wissenschaftliche Bedeutung - vor allem beigetragen, dass man mit vergleichsweise einfachen Algorithmen schon am heimischen PC fraktale Bilder von hohem ästhetischem Reiz erzeugen kann. Hierzu trug in Deutschland u. a. der Bremer Mathematikprofessor Heinz-Otto Peitgen (*1945) bei, der heute dem Center of Complex Systems and Visualization (CeVis, »Zentrum für komplexe Systeme und deren Veranschaulichung«) in Bremen vorsteht. Das berühmteste dieser »dekorativen« Fraktale ist wohl die sog. Mandelbrot-Menge (nach Benoît Mandelbrot, *1924), die aufgrund ihres Aussehens oft »Apfelmännchen« genannt wird. Die Abbildung entsteht, vereinfacht gesagt, dadurch, dass auf komplexe Zahlen eine bestimmte mathematische Operation wiederholt angewandt wird; und zwar wird eine Zahl z quadriert und zu dem Ergebnis noch einmal z addiert. Je nachdem, ob eine bestimmte komplexe Zahl bei beliebig häufiger Wiederholung innerhalb einer bestimmten Grenze bleibt oder nicht, wird sie zur Mandelbrot-Menge gezählt oder nicht. Die Darstellung am Bildschirm erfolgt einfach dadurch, dass jeder Punkt der komplexen Ebene, der zur Menge gehört, eingefärbt wird. Farbige Bilder erhält man, wenn für verschiedene Grenzwerte unterschiedliche Farbtöne gewählt werden. Wie in den obigen Beispielen zeigen die Randbereiche dieser Menge bei jeder Vergrößerung ähnliche, aber immer wieder neue und verblüffend schöne Strukturen.In der modernen Computergrafik werden Fraktale zur einfachen Erzeugung von realistischen Objekten benutzt. So ist es einfacher, einen Algorithmus für die Erzeugung eines fraktal aufgebauten Baums oder eines Gebirges anzugeben als diese Blatt für Blatt, Ast für Ast oder Berg für Berg zu entwerfen. Eine weitere Anwendung der fraktalen Geometrie ist die fraktale Bildkomprimierung.* * *
Universal-Lexikon. 2012.
